Suites numériques

Table des matières

On considère la suite arithmético-géométrique $(un)n∈ℕ$ déﬁnie par :

{ u0 = 2 un+1 = 2un - 3

Calculer $u1,u2,u3$ .
Soit la suite $(vn)n∈ℕ$ déﬁnie par $vn = un - 3$ . Montrer que v est géométrique.
En déduire $(vn)$ en fonction de n puis $(un)$ en fonction de n.
Déterminer limite puis variation de $(u ) n$ .

On considère la suite de Fibonacci :

{ (φn) : φ0 = 0, φ1 = 1 φn+2 = φn+1 + φn

Autrement dit, c’est la suite où chaque terme est la somme des deug précédents.

Résoudre l’équation : $x6 = x + 1$ .
On pose $un = xn$ pour tout $n ∈ ℕ$ . Montrer que, si $(un)$ vériﬁe les conditions de Fibonacci, alors on a : $x2 = x + 1$ .
En déduire $(un)$ .
On admet qu’il existe deux réels a et b tels que : $( √ -)n ( √ -)n ∀n ∈ ℕ,φ = a. 1-+---5 + b. 1 ----5 n 2 2$
A l’aide des conditions $φ0 = 0$ et $φ1 = 1$ , déterminer a et b.

On considère la suite $(un)$ déﬁnie, pour tout $n ∈ ℕ *$ , par :

1 un = --------- n(n + 2)

Déterminer les réels a et b tels que, pour tout $* n ∈ ℕ$ : $a- --b--- un = n + n + 2$
Déterminer les variations de $(un)$ et sa limite à l’inﬁni.
On considère la suite des sommes $Sn = u1 + u2 + ...+ un$ .
Calculer $S1$ , $S2$ , $S3$ et $S4$ .
Démontrer que : $lim Sn = 3- n→∞ 4$
On pourra d’abord calculer $u1 + u3 + u5 + ...$ puis $u2 + u4 + u6 + ...$

On considère la fonction f déﬁnie sur $ℝ$ par $1 f(x) = --(x2 - 2x + 4) 3$ .

1. Déterminer les variations de f.
2. En déduire que si $x ∈]1;4[$ , alors $f(x) ∈]1;4[$ .
  (on dit que ]1; 4[ est stable par f)
Soit la suite déﬁnie par et, pour tout n de ,
$1 2 vn+1 = --(vn - 2vn + 4) 3$
1. Calculer $v1$ et $v2$ .
2. En utilisant 1., démontrer que si $1 < vn < 4$ , alors $1 < vn+1 < 4$ .
  Sachant que $1 < v < 4 0$ , on admet que l’on a $1 < v < 4 n$ pour tout $n ∈ ℕ$ . (principe de récurrence)
3. Prouver que : $1- vn+1 - vn = 3 (vn - 1)(vn - 4)$
  En déduire les variations de $(vn)$ .

Auteur(s) : Stéphane Vento