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Dérivation et étude de fonctions

Table des matières


Exercice 1

Soit f, la fonction définie par f(x) = 1 - x ------- x2 - 4 pour tout x ∈ ℝ \{- 2,2} .
On note Cf la courbe représentative de f.

  1. Déterminer les réels a et b tels que f(x) = --a--- x + 2 + --b--- x - 2 pour tout
    x ∈ ℝ \{- 2,2} .
  2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et dresser son tableau de variation.
  3. Préciser toutes les asymptotes à Cf .
  4. Tracer soigneusement Cf dans un repère bien choisi.

Exercice 2

On définit la fonction f(x) = 1 + x ----√--- 1 - x.

  1. Déterminer l’ensemble Df de définition de f.
  2. Calculer les limites de f en 1 et +∞. (indication : on pourra multiplier f(x) par √ -- 1-+-√-x- 1 + x et remarquer que lim 1-+-x-= - 1 x→+ ∞ 1 - x )
  3. Déterminer la solution supérieure à 1 de l’équation x2 - 6x + 1 = 0 .
  4. Soit α, un réel supérieur à 1 tel que α-2√ -- α = 1. Calculer α en remarquant que √ -- α = α---1- 2 et en élevant au carré.
  5. Montrer que f n’est pas dérivable en 0+ . Déterminer les variations de f en admettant que ′ f s’annule en un point unique que l’on précisera et que ′ f garde un signe constant.
  6. Résoudre l’équation ′ 1 f (x) = √x-- en utilisant la méthode de la question 4). (exprimer √ -- x en fonction de x et élever au carré)

Exercice 3

Soit f la fonction définie par f(x) = 2 2-+-x-- 1 - x pour tout x ∈ ℝ \{1} .
On note Cf la courbe représentative de f.

  1. Trouver les réels a, b et c tels que f(x) = ax + b + c ------ 1 - x pour tout x de ℝ \{1} .
  2. Déterminer les variations et les asymptotes de f.
  3. Calculer f′′ , c’est-à-dire la dérivée de la dérivée de f.
  4. On dit qu’une fonction f : I → ℝ est convexe (resp. concave) sur I si et seulement si on a f ′′(x) ≥ 0 (resp. f′′(x) ≤ 0 ) pour tout x ∈ I  ; géométriquement, cela renseigne sur la courbure de Cf . Montrer que f est convexe sur ] -∞; 1[ et concave sur ]1; +∞[.
  5. Tracer Cf .
  6. Déterminer tous les points de ℝ tels que Cf admette une tangente de pente 1.

Exercice 4

On considère la fonction polynôme f(x) = x4 - 6x2 + 4x - 1 .

  1. Prouver que f′ possède trois racines (ou zéros) distinctes dans ℝ et en donner une valeur approchée à l’aide d’une machine.
  2. En déduire les variations de f.
  3. Etudier la convexité de f. (cf. Exercice 3)

Exercice 5

  1. Trouver une fonction f telle que ′ 2 f(x) = 3x pour tout x ∈ ℝ .
  2. Plus généralement, trouver une fonction g de dérivée g ′(x) = xn,n ∈ ℕ .
  3. Expliquer pourquoi, si g est une telle fonction, alors, pour tout réel k, g + k répond encore au problème.
  4. En utilisant le tableau des dérivées usuelles, trouver une fonction h telle que ′ 1 h (x) = x2- pour tout x dans * ℝ . (attention au signe)
  5. Trouver la fonction F telle que ′ 1-- F (x) = x2 et F(2) = 1.
Auteur(s) : Stéphane Vento
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