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Suites numériques - Correction

Table des matières


Exercice 1

  1. On calcule les premiers termes, on a : u1 = 2.2 - 3 = 1 , u2 = 2.1 - 3 = - 1 et u3 = 2.(- 1) - 3 = - 5 .
  2. Pour montrer que v est géométrique, on calcule vn+1- vn , on obtient :
    vn+1 un+1 - 3 2un - 6 2(un - 3) -----= ---------= -------- = ----------= 2 vn un - 3 un - 3 un - 3

    Donc v est une suite géométrique de raison 2.

  3. Le premier terme de v est v0 = u0 - 3 = - 1 , on en déduit n vn = - 2 pour tout n ∈ ℕ .
    Puis un = vn + 3 = 3 - 2n .
  4. Puisque 2 > 1 on a lim 2n = +∞ n→+∞ et donc :
    lim un = - ∞ n→+ ∞

    En reprenant la définition de u et la question 3., on a :

    n un+1 - un = un - 3 = - 2 < 0

    donc u est décroissante.

Exercice 2

  1. L’équation a pour discriminant 5 donc les solutions sont :
    { 1 + √5- 1 - √5-} -------; ------- 2 2

    (le nombre √ -- 1 +--5- 2 est appelé nombre d’or.)

  2. (un) vérifie les conditions de Fibonacci signifie un+2 = un+1 + un , c’est-à-dire xn+2 = xn+1 + xn d’où, par simplification par xn  : x2 = x + 1 .
  3. On en déduit ( √-)n un = 1+-5- 2 ou ( √-)n un = 1+-5- 2 pour tout n ∈ ℕ .
  4. On rappelle que si x est un réel, on a x0 = 1 .
    La condition φ0 = 0 s’écrit a + b = 0 et φ1 = 1 donne

    ( √-) ( √ -) a1+2-5- + b 1-2-5 = 1 .

    On a donc b = -a et a( √- 1+2-5)- a( √- 1-2-5-) = 1, soit a√ -- 5 = 1.
    Finalement :

    -1-- -1-- a = √5--et b = - √5-

Exercice 3

  1. On réduit au même dénominateur :
    1 a(n + 2) + bn (a + b)n + 2a un = ---------= --------------= -------------- n(n + 2) n(n + 2) n(n + 2)

    Puis, par identification, a + b = 0 et 2a = 1 d’où a = 1∕2 et b = -1∕2.

  2. Pour tout * n ∈ ℕ , on a :
    1 1 n - (n + 3) - 3 vn+1 - vn = -------------- - --------- = ----------------= ----------------< 0 (n + 1)(n + 3) n(n + 1) n(n + 1)(n + 3) n(n + 1)(n + 3)

    Donc (v ) n est décroissante.
    De plus, il est clair que 1∕2 1∕2 lim ----= lim ------= 0 n→+∞ n n→+ ∞ n + 2 donc :

    lim vn = 0 n→+∞

  3. On a : S1 = v1 = 1∕3 , S2 = S1 + v2 = 11∕24 , S3 = S2 + v3 = 21∕40 et S4 = S3 + v4 = 17 ∕30 .
  4. Tous les termes se simplifient sauf le premier ! :
    1∕2 1∕2 1∕2 1 ∕2 1∕2 1∕2 v1 + v3 + v5 + ...= ----- ----+ ----- ---- + ----- ----...= 1∕2 1 3 3 5 5 7

    1∕2- 1∕2- 1∕2- 1-∕2 1∕2- 1∕2- v2 + v4 + v6 + ...= 2 - 4 + 4 - 6 + 6 - 8 ...= 1∕4

    et finalement : v + v + v + ...= 1∕2 + 1∕4 = 3∕4 1 2 3  ; c’est-à-dire :

    3- nl→i+m∞ Sn = 4

Exercice 4

    1. Pour tout x réel, on a ′ 2- f (x) = 3(x - 1) donc f est décroissante sur ] -∞; 1[ et croissante sur ]1; +∞[.
    2. Sur ]1; 4[, f est croissante et f(1) = 1, f(4) = 4 ; f établie donc une bijection de ]1; 4[ sur ]1; 4[.
      Donc, si x ∈]1;4[ , alors f(x) ∈]1;4[ .
    1. On a 1 v1 = -(v20 - 2v0 + 4) = 7∕3 3 et 1 v2 = -(v21 - 2v1 + 4) = 43∕27 3 .
    2. Evident puisque vn+1 = f(vn) .
    3. Pour tout n ∈ ℕ , on a
      1 2 1 2 1 vn+1 - vn = 3-(vn - 2vn + 4) - vn = 3(vn - 5vn + 4) = 3-(vn - 1)(vn - 4)

      Puisque : ∀n ∈ ℕ, vn ∈]1;4[ , on a vn - 1 > 0 et vn - 4 < 0 donc vn+1 - vn < 0 et donc (vn) est décroissante.

Auteur(s) : Stéphane Vento
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