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Equations pôlynomiales - Correction

Table des matières


Exercice 1

  1. On calcule le discriminant, on a √ --2 Δ = 36 - 2.4 = 28 = (2 7) . D’où les solutions :
    { √ -- √ --} x ∈ 3-----7; 3-+--7 2 2

  2. Le discriminant est Δ = -4 < 0. Solution : ∅ .
  3. Tout d’abord, l’écriture de l’équation impose x⁄=0. Pour x non nul, l’égalité équivaut à x2 - x + 1 = 0 qui n’a pas de solution sur ℝ .
  4. Le discriminant de cette équation est
    16 1 - cos2θ sin2 θ Δ = ------ - 16 = 16 ----------= 16 -----. cos2 θ cos2θ cos2θ

    Puisque [ [ θ ∈ 0; π 2 , on a sin θ > 0 et cos θ > 0 (cours de seconde) ; on en déduit
    ( sin θ)2 Δ = 4 ----- cosθ puis :

    { } x ∈ - 21---sinθ-;- 2 1 +-sin-θ cos θ cosθ

Exercice 2

  1. La somme des coefficients (2 - 6 + 4) est nulle, on en déduit que 1 est solution. Le polynôme 2x3 - 6x + 4 est donc divisible par x - 1 et le thérorème fondamental de l’algèbre assure l’existence des réels a, b et c vérifiant : 2x3 - 6x + 4 = (x - 1)(ax2 + bx + c) pour tout x ∈ ℝ . En développant, il vient :

    (x- 1)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b - a)x2 + (c - b)x - c

    Par identification, on en déduit a = 2, b - a = 0, c - b = -6 et -c = 4 d’où a = b = 2, c = -4. L’équation devient alors 2(x - 1)(x2 + x - 2) = 0 . Les solutions sont donc :

    x ∈ {1;- 2}

  2. On pose 2 z = x , on a alors 2 4 z = x et en remplaçant dans l’équation, on obtient 2 z + 2z - 4 = 0 soit √ -- √ -- z ∈ {- 5 - 1; 5 - 1} .
    D’autre part le changement de variable z = x2 impose z ≥ 0 ; la solution -√ -- 5 - 1 ne convient donc pas et par conséquent, z = √ -- 5 - 1 et x = √ -- z ou x = -√z--. Réponse :
    { ∘ ------- ∘ -------} √ -- √ -- x ∈ 5 - 1 ; - 5 - 1

  3. La méthode est la même qu’en 1. ; 3 2 x - 2x - 23x + 4 est divisible par x + 4, le quotient étant un trinôme du second degré. On trouve : x3 - 2x2 - 23x + 4 = (x + 4)(x2 - 6x + 1) d’où les solutions :
    √ -- √ -- x ∈ {- 4 ; 3 + 2 2; 3 - 2 2}

  4. Le changement de variable 2 z = x - 8x donne 2 z + 40z + 375 = 0 d’où z = -15 ou z = -25.
    On résoud ensuite l’équation z = x2 - 8x d’inconnue x, le discriminant est Δ = 64 + 4z. Si z = -15 on a Δ = 4 ≥ 0, si z = -25, alors Δ = -36 ≤ 0, il faut donc z = -15 et donc l’équation équivaut à x2 - 8x + 15 = 0 c’est-à-dire x ∈ {3;5} .

Exercice 3

  1. Si 0 était solution, on aurait 4 3 2 a.0 + b.0 + c.0 + b.0 + a = 0 , c’est-à-dire a = 0. Contradiction. Donc 0 n’est pas solution.
  2. Puisque 0 n’est pas solution, on a x⁄=0 et donc, on peut factoriser par 2 x , on obtient :
    ( b a ) x2 ax2 + bx + c + --+ --2 = 0 x x

    puis on simplifie par x2 et on regroupe les a,b et c :

    ( ) ( ) 2 -1- 1- a x + x2 + b x + x + c = 0

  3. On pose z = x + 1- x, on a alors :
    ( 1)2 1 1 z2 - 2 = x + -- - 2 = x2 + -2-- 2 + 2 = x2 + -2- x x x

    En reportant dans l’équation précédente, il vient donc :

    2 a(z- 2) + bz + c = 0 .

  4. Il s’agit ici d’une équation symétrique, on pose donc z = x + 1 -- x et l’égalité devient alors : 2 z - 2 - 12z + 37 = 0 ou encore : 2 z - 12z + 35 = 0 (discriminant 4). D’où z = 5 ou z = 7.
    Il faut à présent trouver x, le changement de variable équivaut à
    x2 - zx + 1 = 0 , équation de discriminant z2 - 4 .
    Pour z = 5 l’équation est x2 - 5x + 1 = 0 donc x = √--- 5 +--21-- 2 ou x = √ --- 5-----21- 2.
    Pour z = 7 l’équation est 2 x - 7x + 1 = 0 donc x = √ -- 7 +-3--5- 2 ou x = √ -- 7---3--5- 2.
    Finalement les solutions sont :
    { √ --- √ --- √ -- √ -} 5-+---21- 5-----21- 7 +-3--5- 7---3--5- 2 ; 2 ; 2 ; 2

Auteur(s) : Stéphane Vento
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