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La droite réelle

Table des matières


Exercice 1

Soient A et B deux parties non vides de ℝ .

    1. Montrer que A ∪ B est majorée si, et seulement si, les deux parties A et B sont majorées.
    2. Lorsque A et B sont majorées, prouver
      sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B).

  2. On suppose que A et B sont non vides et majorées et que A ∩ B ⁄= ∅ .
    1. Montrer que A ∩ B est majorée et que
      sup(A ∩ B) ≤ min(sup A, sup B).

    2. Peut-on avoir une inégalité stricte ?
  3. On pose
    A + B = {x ∈ ℝ; ∃a ∈ A, ∃b ∈ B, x = a + b}.

    1. Prouver que A + B est majorée si, et seulement si, les deux parties A et B sont majorées.
    2. Lorsque A et B sont majorées, prouver
      sup(A + B) = supA + sup B.

Exercice 2

Déterminer, si elles existent, la borne supérieure et la borne inférieure des parties suivantes de ℝ .

  1. + 2 {x ∈ ℚ ;x ≤ 2} .
  2. {1-+ (- 1)n;n ∈ ℕ *} n .
  3. 2 {x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x = 2y5-y227} .

Exercice 3

On appelle nombre dyadique tout nombre rationnel de la forme m-- 2n avec m ∈ ℤ et n ∈ ℕ . Montrer que l’ensemble des nombres dyadiques est dense dans ℝ .

Exercice 4

Soit D une partie dense de ℝ .

  1. Montrer que si E vérifie D ⊂ E ⊂ ℝ , alors E est dense dans ℝ .
  2. Soit F un ensemble fini de ℝ . Montrer que D \ F est dense dans ℝ .

Exercice 5

  1. Prouver que, si a est un nombre rationnel non nul et si b est irrationnel, les nombres suivants sont tous irrationnels :
    a- a + b, a - b, ab, b.

  2. Prouver par des contre-exemples que la somme de deux nombres irrationnels peut être rationnelle. Même question pour le produit.

Exercice 6

Une partie A de ℝ est appelée un ouvert de ℝ , lorsque A est vide, ou est un intervalle ouvert de ℝ , ou une réunion d’intervalles ouverts de ℝ .
On dit qu’une partie A de ℝ est un fermé de ℝ , lorsque ℝ \ A est un ouvert de ℝ .

  1. Montrer que ∅ et ℝ sont à la fois des ouverts et des fermés de ℝ .
  2. Montrer que tout intervalle fermé de ℝ est un fermé de ℝ .
  3. Montrer que ni ℚ ni ℝ \ ℚ ne sont ni des ouverts, ni des fermés de ℝ .
  4. Montrer que toute réunion d’ouverts de ℝ est un ouvert de ℝ , et que toute intersection de fermés de ℝ est un fermé de ℝ .
  5. On pose, pour tout n ∈ ℕ* , A = ] - 1, 1-[ n n n et B = ℝ \ A n n . Déterminer ⋂ A * n n∈ℕ et ⋃ Bn n∈ℕ* . Une intersection d’ouverts est-elle toujours un ouvert, et une réunion de fermés un fermé ?
Auteur(s) : Stéphane Vento
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