Le Logarithme Népérien

Table des matières

1 Déﬁnition et premières propriétés
2 Limites
3 Variations et graphe
4 Dérivation et approximation

1 Déﬁnition et premières propriétés

Nous savons que certaines fonctions réelles ne peuvent pas être primitivées explicitement, c’est-à-dire qu’on ne peut trouver une formule écrite avec un nombre ﬁni d’opérations élémentaires dont la dérivée est prescrite. C’est le cas de la fonction bien connue $f : x ↦- → 1- x$ déﬁnie sur ]0, +∞[ (essayez de l’intégrer !). C’est la raison pour laquelle nous voulons donner un nom à une telle fonction, aﬁn de pouvoir intégrer les fonctions rationnelles (quotients de deux polynômes).
Plus précisément, la fonction f étant continue sur l’intervalle ]0, +∞[, elle admet une unique primitive F qui s’annule au point 1 et qui est déﬁnie par

∫ x 1 F (x) = -dt. 1 t

Définition 1 La fonction F, déﬁnie sur ]0, +∞[ se note ln dans la littérature française et log dans la littérature anglo-saxone et s’appelle logarithme népérien. On a donc

∫ x 1 ∀x > 0, ln(x) = -dt. 1 t

Nous noterons ici ln cette fonction. De par sa déﬁnition, il s’agit d’une fonction dérivable de dérivée

1 ln′(x) = -- ∀x > 0. x

Voici la propriété fondamentale du logarithme népérien :

Théorème 1 Pour tous réels a et b strictement positifs, on a la formule

ln(ab) = ln(a) + ln(b).

Autrement dit, la fonction ln transforme un produit en une somme.

DEMONSTRATION : On ﬁxe a > 0 et on considère la fonction f_a déﬁnie par $f (x) = ln(ax) a$ pour x > 0. $f a$ est la composée de deux fonctions dérivables (à savoir $x ↦-→ ax$ et ln) donc est elle même dérivable et par la formule de dérivation d’une composée, il vient

1 1 f′a(x) = a ---= --. ax x

Ainsi les fonctions $f a$ et ln ont la même dérivée et diffèrent donc d’une constante additive. C’est dire qu’il existe $c ∈ ℝ$ tel que

∀x > 0, f (x) = ln(x) + c. a

En particulier pour x = 1, il vient $ln(a) = ln(1) + c = c$ ; d’où

∀x > 0, ln(ax) = ln(a) + ln(x)

ce qui est bien la formule annoncée. □

On peut même prouver que ln est la seule fonction continue vériﬁant la formule du théorème. On peut déduire de ce qui précède quelques formules utiles dans la pratique.

Corollaire 1 Le logarithme népérien vériﬁe les propriétés suivantes.

Pour a > 0, ln = - ln(a).
Pour a > 0 et $n ∈ ℤ$ , $n ln(a ) = nln(a)$ .
Pour a,b > 0, on a ln = ln(a) - ln(b).

DEMONSTRATION :

L’idée de la démonstration est la même que celle du théorème précédent. On déﬁnit les fonctions f et g sur ]0, +∞[ par $(1) f(x) = ln -- et g(x) = - ln(x) x$
et veut montrer que f = g ; ce qui va être établi en montrant que ces deux fonctions coïncident en un point et ont même dérivée. On calcule
$- 1 1 1 f′x) = ---.----= - -- x2 1∕x x$
et
$g′(x) = - ln′(x) = - -1. x$
De plus, f(1) = ln(1) = 0 et g(1) = - ln(1) = 0 ; ce qui achève la preuve.
On suppose d’abord que n > 0 et on procède par récurrence sur n. La formule est triviale lorsque n = 1. Supposons la vraie pour un certain entier n. Alors on a $ln(an+1) = ln(aan) = ln(a) + ln(an)$
d’après le théorème fondamental. Et l’hypothèse de récurrence permet de conclure
$ln(an+1) = ln(a) + nln(a) = (n + 1)ln(a).$
Ainsi la formule est vraie pour n ≥ 0.
On applique maintenant cette formule à en lieu et place de a ; il vient
$ln (1--)= ln(a-n) = n ln (1-)= - n ln(a) an a$
où on a utilisé le point 1. Cette dernière ligne nous donne la formule lorsque n est négatif.
C’est maintenant évident : $(a) ( 1) (1 ) ln -- = ln a-- = ln(a) + ln -- = ln(a) - ln(b). □ b b b$

2 Limites

On s’intéresse ici aux éventuelles limites de ln à la frontière de son ensemble de déﬁnition, c’est-à-dire aux points 0 et +∞.

Théorème 2 La fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[ et on a

lim ln(x) = + ∞. x→+∞

DEMONSTRATION : La première assertion est évidente, la dérivée de ln étant strictement positive. En conséquence, cette fonction possède une limite à l’inﬁni, ﬁnie ou inﬁnie. Supposons qu’il s’agisse d’une limite ﬁnie que nous notons l. Alors

lim ln(2x) = lim (ln(2) + ln(x)) = ln(2) + l. x→+ ∞ x→+ ∞

Mais d’autre part, le théorème de composition des limites fournit

xl→im+ ∞ ln(2x) = l

d’où l = ln(2) + l et ln(2) = 0, ce qui est absurde car ln(2) > ln(1) = 0 par croissance de ln. □

Voici une autre limite qui est très importante.

Théorème 3 On a la limite

ln(x) xl→im+ ∞ ----- = 0. x

DEMONSTRATION : Soit x > 1. Pour t > 1, on a √ -
t ≤ t et donc 1-
t ≤ -1-
√t- . On en déduit

∫ x ∫ x [ ] ln(x) = 1dt ≤ √1-dt = 2 √t x = 2√x.- 1 t 1 t 0

D’où

√ -- 0 ≤ ln(x) ≤ 2--x-= √2-. x x x

Puisque $lim √2--= 0 x→+ ∞ x$ , le théorème des gendarmes permet de conclure. □

Les deux derniers résultats impliquent le

Corollaire 2 Au voisinage de 0,

lixm→0ln(x) = - ∞ et lxim→0 xln(x) = 0.

DEMONSTRATION : Elle repose essentiellement sur la formule ln -1
x = - ln(x). Le changement de variable x = 1-
u donne

(1-) lixm→0ln(x) = ul→i+m∞ ln u = ul→i+m∞ - ln(u) = - ∞

d’une part et

lim x ln(x) = lim -1ln (1)= lim - ln(u) = 0 x→0 u→+ ∞ u u u→+ ∞ u

d’autre part. □

3 Variations et graphe

Comme nous l’avons vu, la fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[ et a pour limite -∞ en 0 et +∞ en +∞. Elle réalise donc une bijection de ]0, +∞[ sur $ℝ$ .

Définition 2 On note e l’unique nombre réel vériﬁant ln(e) = 1. Une valeur approchée de e est 2,71828.

Voici le graphe du logarithme népérien.

4 Dérivation et approximation

Le théorème de dérivation d’une composée nous donne le résultat suivant.

Théorème 4 Si u est une fonction déﬁnie sur un intervalle I, à valeurs strictement positives et dérivable sur I, alors $ln∘u$ est dérivable sur I et

u′(x) ∀x ∈ I, (ln∘u) ′(x) = -----. u(x)

Par exemple, si on déﬁnit la fonction f(x) = ln(x² - 4x + 5) sur ℝ (ceci a un sens car x² - 4x + 5 > 0 pour tout x) alors f est dérivable et

2x - 4 f′(x) = -2---------. x - 4x + 5

Réciproquement, c’est un bon moyen de trouver les primitives de certaines fonctions : celles qui s’écrivent ′
u-
u .
Si par exemple on déﬁnit h(x) = --2x---
x2 + 1 sur ℝ alors les primitives de h sont les fonctions x ↦-→ ln(x² + 1) + C où C est une constante réelle.

Puisque la fonction ln est dérivable en 1, le résultat suivant est évident.

Théorème 5 On a

lim ln(1 +-h) = 1. h→0 h

Cette formule nous donne en fait une approximation affine de ln au voisinage du point 1. La tangente à la courbe de ln en ce point a pour équation y = x - 1.
Des approximations plus ﬁnes peuvent être obtenues. On montrera à titre d’exercice que l’on a

x2- x3- x4- x2- x3- ∀x > 0, x - 2 + 3 - 4 ≤ ln(x + 1) ≤ x - 2 + 3 .

La courbe bleue foncée représente la fonction x ↦-→ ln(1 + x).

Auteur(s) du document : Stéphane Vento

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