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Géométrie Analytique - Rappels de collège


Table des matières

1 Les vecteurs
 1.1 Définition
 1.2 Propriétés
 1.3 Colinéarité, orthogonalité
2 Les droites
3 Propriétés euclidiennes

Introduction
Le but est, ici, d’étudier certaines propriétés de géométrie ”pure” à l’aide du calcul.

On munit pour cela le plan d’un repère orthonormé -→ -→ ℛ = (O, i , j ) . Autrement dit on choisit un point O appelé origine de ℛ et deux vecteurs -→ i et -→j orthonormés, c’est-à-dire vérifiant : ∥-→i ∥ = ∥-→j ∥ = 1 et (-→i, -→j ) = π- 2.

Un point M quelconque du plan est alors repéré par ces deux coordonnées x et y définies par : -O-M→ = x.-→i + y.-→j ; on note alors M(x,y).

1 Les vecteurs

1.1 Définition

Définition 1 Etant donnés deux points A et B de coordonnées respectives (x; y) et (x′; y′), on appelle vecteur, l’objet noté - → AB (ou B - A) défini par :

-→ ′ ′ AB = B - A = (x - x,y - y).

La notation B - A, non introduite dans les lycées montre bien que pour calculer les coordonnées d’un vecteur, on soustraie celles du deuxième point avec le premier.

1.2 Propriétés

Proposition 1 Soient trois points A, B et C du plan, on a alors :

  1. -→ AB = --→ BA
  2. -→ AC = - → AB + --→ BC (relation de Chasles)
  3. -→ -→ AB = 0 ⇔ A = B

DEMONSTRATION :

  1. -→ AB = B - A = -(A - B) = --→ BA
  2. -→ AB + --→ BC = (B - A) + (C - B) = C - A = -→ AC
  3. -→ -→ AB = 0 ⇔ B - A = 0 ⇔ A = B

Soit -→u(x,y), -→v(x′,y′) et k un réel. Alors :

  1. -→u + -→v(x + x′; y + y′)
  2. k-→ u = (kl; ky)
  3. -→ u = -→ v ′ ⇔ (x = x et y = y′). □

En d’autres termes, pour additionner deux vecteurs on additionne leur coordonnés et pour multiplier un vecteur par un réel k, on multiplie ces coordonnées par k.

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées.

1.3 Colinéarité, orthogonalité

Définition 2 Deux vecteurs -→u et -→v sont dits colinéaires s’il existe un réel k tel que -→u = k-→v.

Autrement dit leurs coordonnées sont proportionnelles.

Proposition 2 -→ u(x,y) et -→ v(x′,y′) sont colinéaires si et seulement si

xy ′ - x′y = 0.

Notation : le réel xy′- x′y est noté ∣ ∣ ∣ x x′ ∣ ∣∣ y y′ ∣∣ et est appelé déterminant de ces deux vecteurs.

Le fait que deux vecteurs soient colinéaires se traduit par le fait que les droites qu’ils dirigent sont parallèles.
Avec les notations précédentes :

Proposition 3 -→u et -→v sont orthogonaux si et seulement si

xx ′ + yy′ = 0.

Attention à ne pas confondre les formules des propositions 1 et 2 !
Le nombre xx′ + yy′ sera appelé plus tard produit scalaire de ces vecteurs.

2 Les droites

On rappelle qu’une droite du plan est parfaitement définie par la donnée de deux points distincts A et B dont les coordonnées seront notées (xA,yA) et (x ,y ) B B .
Soit M(x; y) un point quelconque de la droite (AB).

Equation réduite

Nous supposons ici xA différent de xB (la droite n’est pas ”verticale”).
Le point M appartient à (AB) si et seulement si les vecteurs -→ AB et --→ AM sont colinéaires.
Traduisons cette équivalence grâce à la proposition 1 ci-dessus :

∣ ∣ M ∈ (AB) ⇔ ∣∣ x - xA xB - xA ∣∣ = 0 ⇔ (x - x )(y - y )- (y- y )(x - x ) = 0 (*) ∣ y - yA yB - uA ∣ A B A A B A

Après développement de cette dernière égalité, on obtient :

( y - y ) ( y - y ) y = -B----A-- x - xA -B-----A- + yA xB - xQ xB - xA

appelée équation réduite de la droite (AB).
Cette équation est donc de la forme p = ax + b ; le nombre a est appelé
coefficient directeur (ou pente) de la droite ; b est l’ordonnée à l’origine.

Si a > 0, la droite est ”croissante” ; elle est ”décroissante” si a < 0.

Proposition 4 Les droites D : y = ax+b et D′ :y = a′x+b′ sont orthogonales si et seulement si aa′ = -1.

Par exemple, les droites y = 2x et y = -1- 2x + 2 sont orthogonales.
Etant donnée la droite D d’équation y = ax + b, un vecteur orthogonal à D est (a,-1).

Avec les même notations :

Proposition 5 Les droites D et D′ sont parallèles si et seulement si a = a′.

Evident : deux droites sont parallèles si elles ont la même pente !

Un vecteur directeur de D, c’est-à-dire un vecteur de même direction que D est (1,a).

Equation cartésienne

Nous avons vu ci-dessus que toutes les droites ne peuvent pas s’écrire sous la forme y = ax + b (les droites ”verticales”) ; nous allons donner ici une équation qui englobe toutes les droites du plan.

En reprenant l’égalité (*) ci-dessus, on voit que :

(*) ⇔ (yB - yA)x + (xA - xB)x - xA(yB - yA) + yA(xB - xA) = 0

Cette égalité est de la forme ax + by + c = 0 appelée équation cartésienne de D et ne fait pas intervenir le fait que xA soit différent de xB .


Soient D et D′ les droites d’équations respectives ax + by + c = 0 et a′x + b′ + c′ = 0.
En faisant une étude similaire à b), on obtient :

  1. D est orthogonale à D′ si et seulement si aa′ + bb′ = 0.
  2. D est parallèle à D′ si et seulement si ab′ + ba′ = 0.
  3. Un vecteur directeur de D est (-b; a).
  4. Un vecteur orthogonal à D est (a; b).

3 Propriétés euclidiennes

Toujours dans un repère orthonormé, soient A(xA, yA) , B(xB, yB) et -→ u = -→ AB.
Si -→ u a pour coordonnées (x,y), nous savons déjà que x = xB - xA et y = yB - yA .

La norme du vecteur -→u, c’est-à-dire sa longueur est donnée par :

∘ -------- ∥-→u ∥ = x2 + y2.

On en déduit donc : AB = ∘ ------------------------ (xB - xA)2 + (yB - yA)2, formule déjà rencontrée.


Le point I milieu du segment [AB] a pour coordonnées ( ) xA--+-xB ; yA-+-yB 2 2.
Enfin, si C(xC ,yC ) est un autre point, le centre de gravité du triangle ABC a pour coordonnées ( ) xA + xB + xC yA + yB + yC ------3------,------2------ ; formule découlant de l’égalité -→ GA + --→ GB + -→ GC = -→ 0.

Remarquer la similitude entre les formules du milieu et du centre de gravité ; celle ci sera éclairée en classe de première lors de l’étude des barycentres.

Auteur(s) du document : Stéphane Vento
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