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La loi de réciprocité quadratique


Table des matières

1 Carrés dans un corps fini
2 Sommes de Gauss
3 Loi de réciprocité quadratique


1 Carrés dans un corps fini

On note, pour tout entier premier p, 𝔽p = ℤ ∕pℤ .
On rappelle qu’il s’agit d’un corps à p éléments. D’autre part, 𝔽* = 𝔽 \ {0} p p est un groupe cyclique d’ordre p - 1.
On dit qu’un élément a ∈ 𝔽p est un carré s’il existe b ∈ 𝔽p tel que a = b2 .

Définition 1 Pour n ∈ ℕ et p un nombre premier supérieur ou égal à 3, le symbole de Legendre (n- p) est défini par :

( ( ) { 0 si p divise n n- = +1 si la classe de n modulo p est un carrˊe dans 𝔽p p ( - 1 si la classe de n modulo p n’est pas un carrˊe dans 𝔽p

On dispose alors le résultat suivant dû à Euler :

Proposition 2 Soit p un nombre premier ≥ 3. Il y a autant de carrés que de non carrés dans * 𝔽p . Pour tout n ∈ ℕ , on a la formule

(n-) p-1 p ≡ n 2 [p].

DEMONSTRATION : L’application ψ : 𝔽*p → 𝔽 *p défini par ψ(x) = x2 est morphisme de groupe multiplicatif, dont le noyau est {-1, 1} (de cardinal 2 car p ≥ 3) et dont l’image est l’ensemble *2 𝔽p des carrés de * 𝔽 p . Par un théorème d’isomorphisme, il vient * *2 ∣𝔽p∣ p---1- ∣𝔽 p ∣ = 2 = 2 , ce qui prouve la première assertion.
Pour tout x ∈ 𝔽*p , le théorème de Fermat nous donne xp-1 = 1 et donc x(p-1)∕2 = ±1 . Chacune des équations X(q -1)∕2 = ±1 a au plus q - 1 ----- 2 racines donc exactement p - 1 ------ 2 racines.
Si n = x2 est un carré, on a ( ) n(p- 1)∕2 = xp-1 = 1 = np . Sinon, c’est que ( ) n(p-1)∕2 = - 1 = np . □

On en déduit immédiatement le

Corollaire 1 Pour ′ n,n ∈ ℕ et p premier ≥ 3,

(nn ′) (n )(n ′) ---- = -- -- . p p p

2 Sommes de Gauss

Proposition 3 Soit q un nombre premier ≥ 3, soit A un anneau et soit α ∈ A tel que

1 + α + ...+ αq-1 = 0.

On définit la somme de Gauss

( ) q-1 ( ) τ = ∑ -i αi = ∑ -i αi. q q i∈𝔽q i=1

  1. On a 2 τ = ɛ(q)q où (--1) ɛ(q) = q .
  2. Si p est la caractéristique de A, et est telle que p ≥ 3 et p⁄=q, alors p (p ) τ = --τ q .

DEMONSTRATION : Notons tout d’abord que αp = 1  ; en effet, p q- 1 α - 1 = (α - 1)(1 + α + ...+ α ) = 0 .
D’autre part, on calcule

∑ (i )(j ) ∑ ( - ij ) ɛ(q)τ 2 = ɛ(q) -- -- αiαj = ---- αi+j i,j∈𝔽q q q i,j∈𝔽q q ∑ ( ∑ ( )) ∑ = i(i --k) αk = skαk k∈𝔽q i∈𝔽q q k∈𝔽q
où sk désigne ∑ ( ) i(i---k)- i∈𝔽 q q .
Si k=0 et i⁄=0, alors ( ) ( 2) ( )2 i(i---k)- = i- = i- = 1 q q q et on en déduit s = q - 1 0 .
Supposons k⁄=0. Alors en notant -1 i l’inverse de i dans * 𝔽q ,
(i(i - k) ) (i2(1 - ki- 1) (1 - ki-1) ---q---- = -----q----- = ---q-----.

Or, l’application * 𝔽q → 𝔽q \ {1} , -1 i ↦- → 1 - ki étant clairement bijective, il vient

∑ (i-) ∑ (i-) (1-) sk = q = q - q = - 1, i∈𝔽q\{1} i∈𝔽q

la dernière inégalité étant une conséquence de la proposition 2.
On a donc trouvé

∑ ɛ(q)τ2 = q - 1 - αk = q, k∈ 𝔽*p

ce qui prouve la première partie de la proposition.
A étant de caractéristique p, l’application p x ↦-→ x de 𝔽p dans lui-même est un morphisme de corps, appelé morphisme de Frobenius. On peut donc calculer

(∑ (i ) )p ∑ (i )p τ p = --αi = -- αip. i∈𝔽q q i∈𝔽q q

L’entier p étant impair, (i-)p (i-) q = q et donc

(p-) p ∑ (ip-) ip ∑ (j-) j q τ = q α = q α = τ. i∈𝔽q j∈𝔽q

On a utilisé le fait que, p étant inversible dans 𝔽q , l’application i ↦- → ip est bijective. □


3 Loi de réciprocité quadratique

Voici le résultat principal de cet article.

Théorème 4 Soit p et q deux nombres premiers distincts ≥ 3. Alors

(p) (p-1)(q-1)(q-) q = (- 1) 4 p .

DEMONSTRATION : On se place dans l’anneau A = 𝔽p[X] ∕(Φq) où Φq est le polynôme cyclotomique q-1 1 + X + ...+ X . Dans cet anneau quotient de caractéristique p, on note α la classe de X, de sorte que Φq( α) = 0 . On définit

∑ (i ) τ = -- αi. i∈𝔽q q

D’après la proposition 2, on a 2 τ = ɛ(q)q et donc ( ) ɛ(q)q 2 p-21 p-1 p = (τ ) = τ .
D’autre part toujours d’après cette proposition, p (p-) τ = q τ et on en déduit

( ) ( ) ɛ(q)q- τ = τ p = p- τ. p q

Puisque τ est inversible (car τ 2 l’est), c’est que

( ) ( ) ( ) ( ) p- = ɛ(q)q = (ɛ(q)) p-21- q- = (- 1) (p-1)(4q--1) q- q p p p

comme annoncé. □

Auteur(s) du document : Stéphane Vento