Méthodes de projection pour les équations intégrales

Définition 0.1. Méthode de projection On se donne et deux espaces de Banach , ainsi que un opérateur borné injectif. Pour , on cherche à approximer la solution du problème :

(1)

Pour se faire, on se donne une suite de sous espaces vectoriels et de dimension finie , ainsi que des projecteurs . On considère alors le problème approché :

(2)

Cette méthode de projection est dite convergente s’il existe un rang à partir duquel pour tout , l’équation approchée (2) admet une unique solution , et que cette solution converge vers la solution de (1), ie. .

Remarque. Cette condition de convergence peut s’exprimer plus simplement en fonction de l’opérateur . Elle signifie simplement qu’à partir d’un certain rang, cet opérateur est inversible (ie que le système linéaire obtenu est inversible), et que de plus, on a une convergence ponctuelle :

Théorème 0.1. Banach-Steinhaus Soit une suite d’opérateurs bornés entre deux espaces de Banach et . On suppose que la suite est bornée ponctuellement, ie que pour tout , il existe une constante telle que . Alors, la suite est bornée uniformément en norme, ie il existe une constante telle que .

Corollaire 0.2. Continuité d’une limite ponctuelle Soit une suite d’opérateurs bornés entre deux espaces de Banach et . On suppose que cette suite converge ponctuellement vers un opérateur , ie que . Alors l’opérateur est à son tour borné.

Proposition 0.3. Compacité et convergence uniforme Soit une suite d’opérateurs bornés entre un espace normé et un espace de Banach . On suppose que la suite converge ponctuellement vers un opérateur (à son tour borné grâce au corollaire 0.2). Alors, la convergence est uniforme en norme sur tout ensemble compact , ie :

Proposition 0.4. Convergence ponctuelle et convergence en norme On considère une suite d’opérateurs bornés , avec un espace normé et un espace de Banach. On suppose de plus que cette suite converge ponctuellement vers un opérateur (lui aussi borné). On se donne aussi un opérateur compact borné , où est un espace vectoriel normé quelconque. Alors on a convergence en norme de la suite d’opérateurs bornés compacts vers l’opérateur , ie :

Remarque. Dans la suite, on se place dans le cadre où les espaces sur lesquels on projette possèdent la propriété de densité en norme, ie :

(3)

ce qui est bien sûr une condition nécessaire pour espérer pouvoir construire des méthodes convergentes (et qui n’est pas loin d’être suffisante, comme le montre le résultat suivant).

Théorème 0.5. CNS de convergence des méthodes de projection On se place dans le cadre de densité décrit par (3). Une méthode de projection pour un opérateur entre deux espaces de Banach et converge si et seulement si il existe un rang à partir duquel les opérateurs de dimension finie sont inversibles et si les opérateurs d’approximation sont uniformément bornés, i.e. :

(4)

Dans ce cas, on a une estimation de l’erreur commise en approchant par la solution approchée  :

(5)

Remarque. Dans la suite, on considère un opérateur compact sur un espace de Banach , tel que soit injectif, et l’on cherche à résoudre l’équation de Fredholm, pour  :

(6)

Pour approcher la solution, on n’a besoin que d’une suite d’espaces de dimension finie , ainsi que de projecteurs , ce qui conduit à la résolution de l’équation en dimension finie :

(7)

Si l’on suppose injectif et , c’est ce que l’on appellera une méthode de projection pour .

Théorème 0.6. Convergence pour les équations de Fredholm du second type On suppose que est borné compact sur un espace de Banach, et tel que soit injectif. On suppose de plus que les projecteurs convergent ponctuellement, ie que . Alors la méthode de projection pour détaillée en (7) converge.