Télécharger ce document au fomat PDF PDF  

Résultant et application à l'élimination


Résultant et application à l’élimination


Soient ∑m i f (X) = i=0aiX et ∑n i g(X) = i=0aiX deux polynômes sur un corps 𝕂 . Lorsque f et g possèdent un facteur non trivial, ie. f = f1h et g = g1h , l’équation :

uf + vg = 0 avec deg(u) ≤ deg(g)- 1 et deg(v) ≤ deg(f)- 1
(1)

possède les solutions u = g 1 et v = - f 1 . Réciproquement, l’existence de solution nulle implique l’existence d’un facteur commun non trivial. En projetant l’équation (1) sur la base canonique de 𝕂 [X] × 𝕂 [X] m n , l’existence de solution non nulle est équivalente à la nullité du déterminant :

∣∣am bn ∣∣ ∣∣am -1 am bn-1 bn ∣∣ ∣∣ .. .. ∣∣ ∣∣ am-1 . bn-1 . ∣∣ ∣∣ ... ... am ... ... bn ∣∣ ∣∣ . . ∣∣ ∣∣ a0 .. am- 1 b0 .. bn-1∣∣ ∣∣ a0 b0 ∣∣ ∣∣ ... ... ... ... ∣∣ ∣∣ a b ∣∣ 0 0

Définition 0.1. Le déterminant () se nomme le résultant de f et g et se note Res (f,g) X .

Théorème 0.1. Propriétés du résultant

  • ResX(f,g) = (- 1)mnResX(g, f)
  • ResX(f,b0) = bm0 , pour b0 ∈ 𝕂 .
  • Si deg(f) = m ≤ n = deg(g) , et si h est le reste de la division de g par f , on a
    ResX(f, g) = anm-m ResX(f,h).

  • ResX(f,g) = 0 si et seulement si f et g ont un facteur non trivial.
  • Si f et g s’écrivent :
    f = a0(X - α1)(…)(X - αm) (2)
    g = b0(X - β1)(…)(X - βn) (3)
    alors on a :
    m n m n ResX(f,g) = an∏ g(αi) = (- 1)mnbm ∏ f(βj) = anbm ∏ ∏ (αi - βj) mi=1 n j=1 m n i=1 j=1

Remarque. Si on se place dans la clôture algébrique -- 𝕂 de 𝕂 , alors l’écriture (2) est toujours réalisée et on peut appliquer (v) .

Proposition 0.2. Généralisation Le résultant est un polynôme entier en les coefficient de f et g , i.e. Res(f,g) ∈ ℤ[a ,...,a ,b ,...,b ] X 0 m 0 m . Ceci permet de le calculer dans un anneau A quelconque.
Si l’anneau A est intègre et factoriel, en utilisant le théorème précédent dans le corps de fraction Frac(A) , on garde la propriété que f et g on un facteur commun non trivial si et seulement si Res (f,g) = 0 X , ce qui est équivalent à une racine commune dans une extension algébriquement close de A .

Remarque. La proposition 0.2 nous permet de traiter le cas des polynômes en plusieurs variables, i.e. si f∈𝕂[X1, ...,Xn] , on utilise f ∈ A[Xn] avec A = 𝕂[X1, ...,Xn -1] qui est intègre et factoriel.

On souhaite éliminer la variable Xr entre deux polynômes f,g ∈ 𝕂[X1,...,Xr] , notés de la façon suivante :

∑ f = ∑ mi=0fiXir fi ∈ 𝕂[X1,...,Xr-1] fm ⁄= 0 g = ni=0giXir gi ∈ 𝕂[X1,...,Xr-1] gn ⁄= 0

Définition 0.2. Idéal d’élimination <;/span>Pour f ∈ 𝕂[X1,...,Xr] , on note f (α1,...,αr) le polynôme évalué en -- (α1,...,αr) ∈ 𝕂r . On pose h = ResXr(f,g) ∈ 𝕂[X1, ...,Xr- 1] . Soit I = 〈f,g〉 . On note Ir=I∩𝕂[X1, ...,Xr-1] . C’est l’idéal d’élimination. En quelque sorte, l’idéal Ir contient toutes les façons d’éliminer la variable Xr des équations {f = 0, g = 0} .

Proposition 0.3. Elimination On a h ∈ Ir . Donc si -- (α1,...,αr) ∈ 𝕂r est un zéro commun de f et g , alors h(α1,...,αr-1) = 0 . Au final, le calcul de h conduit à une équation en r- 1 variables.

Théorème 0.4. Extension On suppose connu (α1,...,αr-1) ∈ 𝕂r-1 tels que h(α1,...,αr-1) = 0 . Alors, si on n’est pas dans l’un des cas suivants :

  • ∀i ∈ {0,...,m}, fi(α1,...,αr-1) = 0
  • ∀i ∈ {0,...,n}, gi(α1,...,αr-1) = 0
  • fm(α1,...,αr-1) = gn(α1,...,αr-1) = 0

il existe αr ∈ 𝕂 tel que (α1,...,αr) soit un zéro commun à f et g .

Référence : [?, p.147][?, p.25][?, p.162]
Utilisation : (***,0) (**,3) (*,0)
Mots clefs : déterminant, polynômes, équations polynomiales, élimination.

LECONS CONCERNEES
117 - Algèbre des polynômes à n indéterminées (n>=2). Polynômes symétriques. Applications
118 - Racines des polynômes à une indéterminée. Relations entre les cofficients et les racines d'un polynôme. Exemples et applications
123 - Déterminant. Exemples et applications
Auteur du document : Gabriel Peyré  
  Télécharger ce document au fomat PDF PDF