Sous groupes compacts de GL(E)

Théorème 0.1. L’enonce à dEmontrer est un -ev de dimension . Soit un sous groupe compact de GL(E) . Alors il existe un produit scalaire 〈.∣.〉G sur , de forme quadratique tel que G⊂O(qG) .

Si on suppose ﬁni, la réponse est évidente, il suffit de considérer : $2 -1-∑ ∀(x,y) ∈ E , 〈x,y〉G = ∣G∣ 〈g(x),g(y)〉 g∈G$
Construction d’un point ﬁxe pour : Si on suppose que l’on dispose d’un compact convexe non vide tel que pour un ﬁxé, on ait , on va construire un point ﬁxe pour . En effet, on prend et un considère la suite : $1 ∑k xk = ----- vi(x0) k +1 i=0$
Construction d’une norme strictement convexe stable par : On déﬁnit :
$∀x ∈ E, N G(x) = max ∥g(x)∥ g∈G$ (1)
Construction d’un point ﬁxe pour : Cette fois ci, on suppose que l’on dispose d’un compact stable par tous les éléments de . Pour , on note . Comme est compact et les fermé, Il suffit donc de montrer que pour toute famille ﬁnie , on a . Pour ce faire, on construit , qui vériﬁe . Reste à montrer que le point ﬁxe de est un point ﬁxe commun des , ce qui provient de la stricte convexité de la norme .
Une opération linéaire de sur : On note l’espace vectoriel des matrices symétriques, et le cône convexe des matrices symétriques déﬁnies positives. On note la loi symétrisée sur , i.e. déﬁnie par . On peut déﬁnir une action de sur par via la formule , ce qui correspond à la donnée du morphisme : $ρ : (G, *) → GL(𝒮n) t g ↦→ ρ(g) avec ρ(g)(S) = gSg$
On vériﬁe que ceci déﬁnit bien une action, ie et . De plus, cette action est linéaire.
Construction de : On note , qui est compact comme image continue de compact par continue (car polynomiale). Soit alors , compact comme image de par continue car polynomiale, et est inclus dans , par construction (les éléments de sont inversibles). On note l’enveloppe convexe de , qui est à son tour compacte, d’après le théorème de Carathéodory, et incluse dans qui est convexe. On remarque que, comme l’action de est linéaire, comme est stable par l’action de , l’est aussi, ce qui veut dire que est stable par , qui est un sous groupe de . D’après l’étude menée aux paragraphes précédents, on peut donc trouver un élément ﬁxe par tous les éléments de , ce qui signiﬁe i.e. , où est le produit scalaire euclidien déﬁni par .