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Transformée de Fourier sur un groupe fini
Transformée de Fourier sur un groupe fini
Définition 0.1. Dual d’un groupe Soit 
un groupe fini. Par définition, un caractère 
est un morphisme
du groupe 
dans le groupe multiplicatif 
. On note 
l’ensemble des caractères, et on l’appelle le dual
de 
.
est un groupe pour la multiplication des applications, i.e. pour 
on définit
Proposition 0.1. Soit 
un groupe fini de cardinal 
. Les éléments de 
sont en fait les morphismes de
dans le groupe des racines nièmes de l’unité.
Définition 0.2. On note 
l’ensemble des fonctions de 
dans 
. C’est un espace vectoriel de
dimension 
sur 
. Sur 
on définit un produit scalaire hermitien, pour 
par la
formule :
désigne le conjugué de 
.
Proposition 0.2. Dans le cas cyclique Soit 
. Soit 
. Tous les éléments de 
sont
alors de la forme, pour 
:
On a 
, et même plus fort, car 
forme une base orthogonale de 
.
Proposition 0.3. Cas général Soit 
un groupe fini commutatif. Alors 
est une base orthogonale de 
. On
peut le voir via la décomposition des 
-modules (i.e. des groupes abéliens) :
peut être prolonger en un caractère de 
, ce
qui induit la suite exacte : 
où la flèche 
est le morphisme de restriction.
Ceci montre que 
, et permet de démontrer par récurrence sur 
que 
.
Remarque. Tout ceci est faux dans le cas non commutatif, comme le montre l’étude du groupe symétrique 
. En
effet, si on prend 
et 
deux transpositions, soit alors une permutation 
dans 
telle que :
, 
. On a : 
d’où , si on note 
un caractère :
est constante sur les transpositions, et comme 
on a 
ou 
. Pour
conclure, il suffit, si on prend une permutation quelconque 
dans 
, de la décomposer en produit de transpositions,
et on a donc seulement deux caractères :
Où 
désigne la signature. La solution pour contourner ce problème de « manque » de caractère est de considérer
des représentations de notre groupe ainsi que les caractères de ces représentations (le dual est composé uniquement des
caractères des représentations de dimension 1).
Référence : [?, p.103][?, p.203][?, p.74][?, p.764][?, p.93]
Utilisation : (***,5) (**,2) (*,0)
Mots clefs : groupe fini, dualité, racines de l’unité, caractères, produit hermitien, transformée de Fourier, algorithmes,
polynômes, racines de l’unité.
Auteur du document : Gabriel Peyré
