Représentation linéaire des groupes finis

Représentation linéaire des groupes ﬁnis

Déﬁnition 0.1. Représentation linéaire Soit un -espace vectoriel de dimension ﬁnie . Une représentation linéaire d’un groupe dans est la donnée d’un morphisme ρ : G → GL(V ) . Ceci correspond à la donnée d’une action de groupe linéaire de sur , en notant ∀(g,v) ∈ G ×V, g.v = ρ(g)(v) . On dit aussi que est un -module.

Exemple 0.2. Voici les exemples fondamentaux de représentations linéaires :

La représentation triviale, déﬁnie par .
La représentation régulière : on se donne un espace vectoriel de dimension et on considère une base que l’on indice par les éléments de , i.e. . Pour , on déﬁnit alors par , ce qui correspond à une permutation des coordonnées.
La représentation somme : pour deux représentations et respectivement sur et , on déﬁnit une représentation sur par la formule : $∀(v,w) ∈ V × W, ρ1 ⊕ ρ2(g)(v + w) = ρ1(v)+ ρ2(w)$
La représentation produit : pour deux représentations et respectivement sur et , on déﬁnit une représentation notée aussi sur (espace des applications linéaires de dans ) par la formule : $∀f ∈ ℒ(V, W ), ρV⊗W (g)(f) = ρ2(g)∘ f ∘ρ1(g-1)$
Une action sur les polynômes : si est un sous-groupe ﬁni de , on déﬁnit une action linéaire de sur en notant, pour , le polynôme obtenu par la substitution de par . On note symboliquement .

Déﬁnition 0.3. Représentations isomorphes Deux représentations et d’un même groupe respectivement sur et V ′ sont dite isomorphes si il existe un isomorphisme τ : V → V ′ tel que ∀s∈G, τρ(s) = ρ′(s)τ , ce qui permet d’identiﬁer les deux représentations.

Déﬁnition 0.4. Sous représentations Si une représentation de sur admet un sous espace vectoriel W ⊂ V stable par tous les ρ(s) ∈ GL(V ) , elle induit une sous représentation sur .

Déﬁnition 0.5. Représentations irréductibles Une représentation est dite irréductible si elle n’admet pas de sous représentation stricte.

Proposition 0.1. Représentation unitaire Toute représentation est isomorphe à une représentation unitaire.

Démonstration. On peut supposer muni d’un produit hermitien (.,.) . Quitte à remplacer ce produit (x,y) par ∑
s∈G (ρ(s)x,ρ(s)y) , on peut supposer ce produit invariant par l’action de . Donc dans une base orthonormale pour (.,.) , les matrices des ρ(s) sont unitaires. __

Corollaire 0.2. Une représentation sur est réductible si elle peut s’écrire comme somme V = W ⊕ W 0 de deux représentations non triviales.

Démonstration. Quitte à faire un changement de base, on peut supposer la représentation unitaire. Si la représentation n’est pas irréductible, elle admet un sous-espace globalement stable , et en prenant un supplémentaire orthogonal 0
W , ce dernier est aussi stable, car les matrices des ρ(s) sont unitaires. __

Remarque. Le corollaire précédent signiﬁe que les matrices des ρ(s) sont diagonales par bloc dans une base bien choisie, ce qui correspond bien à la représentation somme.

Proposition 0.3. Toute représentation peut s’écrire comme somme de représentations irréductibles.

Remarque. Cette écriture n’est bien sûr pas unique, mais on va voir qu’elle est unique "à isomorphisme près", au sens que si W = W1 ⊕ ...⊕ Wr , le nombre de fois qu’une représentation irréductible est isomorphe à un est ﬁxé.

Déﬁnition 0.6. Sous-représentation invariante Soit une représentation sur . On note V G le sous-espace des vecteurs invariants , i.e. V G = {v ∈ V ; ∀s ∈ G, ρ(s)(v) := s.v = v} . C’est une sous représentation de .

Déﬁnition 0.7. Opérateurs d’entrelacement Dans le cas de la représentation produit ρV⊗W sur ℒ(V,W) de deux représentations et respectivement sur et , on note HomG(V, W ) := ℒ(V,W )G l’espace des invariants. On nomme ses éléments des opérateurs d’entrelacement ou des -morphismes .

Remarque. Dire que f ∈ ℒ(V,W ) est un opérateur d’entrelacement correspond à ce que vériﬁe ∀s∈G, fρ1(s) = ρ2(s)f , ie fait commuter, pour tout s ∈ G , le diagramme :

f V -- --→ W || || ↓ ρV(s) ↓ρW(s) f V -- --→ W

est bijectif, ceci correspond au fait que

soit un isomorphisme de représentations, dans le cas général, on parle de

-morphismes, où d’opérateurs d’entrelacement.

Lemme 0.4. Lemme de Schur Soient 1
ρ : G → GL(V ) et 2
ρ : G → GL(W ) deux représentations irréductibles d’un groupe . Soit f ∈ ℒ(V,W ) un opérateur d’entrelacement, ie f ∈ HomG(V, W ) . Alors :

Si et ne sont pas isomorphes, .
Sinon, on peut supposer , , et alors est une homothétie.

Démonstration. Si on suppose que f ⁄= 0 , alors les hypothèses montrent que V0 = Ker(f) est stable par tous les ρ1(s) , et donc comme est irréductible, V0 = {0} . De même Im(f ) est stable par tous les ρ2(s) , donc au ﬁnal, est un isomorphisme et et sont isomorphes.
Dans le deuxième cas, comme on travail sur des -espaces vectoriels, a au moins une valeur propre . En posant f′ = f - λId , on voit que Ker(f′) ⁄= {0} , et en appliquant la première partie de la démonstration, on a f′ = 0 . __

Corollaire 0.5. On a donc : dimℂ(HomG(V, W )) = 1 .

Déﬁnition 0.8. Opérateur de Reynolds Soit une représentation de sur . On déﬁnit l’opérateur RG∈ℒ(V,V ) par la formule :

1 ∑ RG := --- ρ(s) ∈ ℒ(V,V ) ∣G∣s∈G

On l’appelle opérateur de Reynolds .

Théorème 0.6. Propriétés de l’opérateur de Reynolds est un projecteur sur V G . En particulier :

Déﬁnition 0.9. Application moyennée Dans le cas de la représentation produit ρ
V⊗W sur ℒ(V, W ) de deux représentations et respectivement sur et , pour f ∈ ℒ(V,W ) , on node ^f := R (f) ∈ ℒ(V,W )
G , ce qui correspond à l’application moyennée :

∑ ^f : v ∈ V →-1- ρ2(s)(f(ρ1(s-1)(v))) ∣G ∣s∈G

Proposition 0.7. Application aux -morphismes Dans le cas de la représentation produit ρV⊗W sur ℒ(V,W) de deux représentations et respectivement sur et , pour f ∈ ℒ(V,W ) , on a :

dimℂ(HomG(V, W )) = tr(RG) = ɛ

Avec

si les deux représentations sont isomorphes, et

sinon. De plus, pour tout f ∈ ℒ(V,W )

est une application G -

invariante pour la représentation linéaire ρV⊗W

, ie c’est un

-morphisme, f ∈ HomG(V, W )

Déﬁnition 0.10. Caractères Soit une représentation d’un groupe sur de dimension . On lui associe son caractère déﬁni par χ ρ(s) = tr(ρ(s)) où désigne la trace.

Proposition 0.8. Propriétés des caractères On a les propriétés suivantes :

.
: on dit que est une fonction centrale sur .
Si se désentations et , alors $χρ := χV⊕W = χρV + χρW .$
Si on note la représentation produit sur de deux représentations et , alors .

Démonstration.

C’est évident car .
Vient du fait que l’on peut prendre une matrice unitaire pour et de : $-1 -1 ---- ------- χρ(s ) = tr(ρ(s) ) = tr(ρ(s)) = tr(ρ(s)).$
Vient du fait que .
Si on note une base de et une base de , la matrice de s’écrit dans la base : $(MV (s) 0 ) M (s) = 0 MW (s)$ où est la matrice de (s) dans la base et celle de dans . D’où .
Provient du lemme suivant.

Lemme 0.9. Soit u ∈ ℒ(W ) et v ∈ ℒ(V) deux applications linéaires. On déﬁnit Φ ∈ ℒ(ℒ(V ),ℒ(W )) par la formule Φ(f) = u ∘f ∘v , alors on a tr(Φ) = tr(u)tr(v) .

Démonstration. On se donne des bases (ei)i∈I de et (fj)j∈J de , ainsi que les bases duales (ei)*i∈I et (f*j)j∈J . On peut construire une base (Fi,j)(i,j)∈I×J de ℒ(V,W ) par la formule :

* ∀x ∈ V, Fi,j(x) := 〈ei,x〉fj ∈ W

La base duale est ainsi déﬁnie par la propriété :

∀f ∈ ℒ(V,W ), 〈F* ,f〉 = 〈f*,f(e )〉 i,j j i

On a donc :

tr(Φ) := ∑ 〈F *,Φ(F )〉 = ∑ 〈f*,u ∘F (v(e))〉 ∑ (i,j)∈I×J i*,j i*,j (i,j)∈I∑×J j i*,j i * = (i,j)∈I×J 〈fj,u(〈ei,v(ei)〉fj)〉 = (i,j)∈I×J 〈fj,u(fj)〉〈ei,v(ei)〉 = tr(u)tr(v)

Déﬁnition 0.11. Produits hermitiens Si et sont deux fonctions de dans , on pose $1 ∑ ---- (ϕ,ψ) := ∣G-∣ ϕ(t)ψ(t) t∈G$

(.,.) est un produit hermitien sur l’espace vectoriel des fonctions de dans .

Théorème 0.10. Relations d’orthogonalité Une famille de caractères de représentations irréductibles non deux à deux isomorphes forme une famille orthonormale de l’espace des fonctions de dans , ce qui signiﬁe :

Si est le caractère d’une représentation irréductible, on a .
Si et sont deux caractères de représentations irréductibles non isomorphes, on a .

Démonstration. Soient et deux représentations de la famille considérée, respectivement sur des espaces vectoriels et . Avec la proposition 0.7, on a donc : tr(RG) = ɛ , où ɛ = +1 si les deux représentations sont isomorphes (donc en fait égales), et sinon. Or :

1-∑ -1∑ tr(RG) = G tr(ρV ⊗W)(s) = G χρV⊗W(s) s∈G s∈G

Or on a vu à que -----
χV⊗W (s) = χV (s)χW (s)

, donc on a bien :

1-∑ ----- tr(RG) = G χV (s)χW (s) := (χW ,χV) = ɛ s∈G

Proposition 0.11. Unicité de la décomposition On suppose qu’une représentation de sur est décomposée en somme de représentations irréductibles V = W1 ⊕ ...⊕ Wr . Alors si est une représentation irréductible de caractère , le nombre de fois que intervient dans la décomposition (ie le nombre de isomorphes à ) est indépendant de la décomposition et vaut (χρ,χW ) . Au ﬁnal, si on choisit une famille (U1,...,Ur) de représentations deux à deux non isomorphes, on écrit de manière unique V = n1W1 ⊕...⊕nrWr avec ni = (χρ,χWi) .

Corollaire 0.12. Deux représentations sont isomorphes si et seulement si elles ont même caractères. De plus, une représentation sur de caractère est irréductible si et seulement si ∑ 2
(χV,χV ) = n i = 1 .

Remarque. En fait, on peut montrer que famille des χ
Wi forme une base orthonormale de l’espace vectoriel des fonctions centrale. Le nombre de W
i est donc égal aux nombre de classes de conjugaisons dans .

Référence : [?, p.1][?, p.267]
Utilisation : (***,14) (**,2) (*,0)
Mots clefs : action de groupe, groupes ﬁnis, caractères, matrices semblables, sous-espaces stables, dimension, produit hermitien, espace hermitien, sous groupes ﬁnis de SO(3) .