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Quadriques et classes de similitudes
Quadriques et classes de similitudes
Définition 0.1. Les formes quadratiques étudiées On identifie 
à 
. Le déterminant
définit sur 
une forme quadratique 
, où l’on a noté 
. C’est une forme quadratique
non dégénérée de signature 
. L’autre forme quadratique est définie par 
.
C’est une forme quadratique non dégénérée de signature 
. Un autre cône important est celui des matrices
impotentes, noté 
. On notera 
.
Proposition 0.1. Etude de 
Le cône isotrope pointé 
de 
est composé des matrices de
rang 1. Un représentant de chaque classe peut être donné par 
ou par 
où 
,
suivant que la trace 
est nulle ou pas. La matrice 
correspond à la classe de similitude 
.
L’équation de l’hyperplan tangent à 
en un point 
est 
. Cet hyperplan
coupe 
suivant deux plans 
et 
. Ces deux plans se rencontrent suivant la génératrice de
issue de 
.
Proposition 0.2. Etude de 
et 
Pour 
, 
est constitué des matrices ayant même
noyau que 
, et 
des matrices ayant même image que 
.
Définition 0.2. Hyperplans affines On note 
, qui est un hyperplan vectoriel
de 
. On note 
l’hyperplan des matrices symétriques.
Les hyperplans affines correspondants à 
sont les 
.
Proposition 0.4. Cones et hyperplans Sur 
, on a 
et 
.
De même, 
est un vrai cône de 
. Par contre, on a 
.
Enfin, on a aussi 
.
Proposition 0.5. Obtention des hyperboloïdes
- Pour
, 
est un hyperboloïde à une nappe.
- Pour
, 
est un hyperboloïde à deux nappes.
Proposition 0.6. Etude de certains polynômes Pour 
on pose :
de 
et 
de 
forment un carré, les diagonales joignant les racines du même
polynôme. En particulier :
- Les racines de
sont réelles si et seulement si celles de 
sont complexes conjuguées.
- Les racines de
sont réelles si et seulement si celles de 
sont complexes conjuguées.
Théorème 0.7. Etude des classes de similitude Soit 
une matrice de valeurs propres 
et 
.
- Si les valeurs propres sont réelles et distinctes, la classe de similitude de
est une hyperboloïde à une
nappe.
- Si les valeurs propres sont complexes conjuguées et distinctes, la classe de similitude de
est une
hyperboloïde à deux nappes.
- Si les deux valeurs sont égales et la matrice non scalaire, la classe de similitude est un vrai cône de
privé de son sommet.
- Si la matrice est scalaire, la classe de similitude est un point.
Référence : [?, p.217]
Utilisation : (***,2) (**,2) (*,0)
Mots clefs : matrices semblables, quadriques, cônes, matrices nilpotentes.
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| 128 - Endomorphismes nilpotents | |
| 131 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Applications | |
| 136 - Coniques |
Auteur du document : Gabriel Peyré
