Le Théorème de Wedderburn

Table des matières

1 Rappels sur les actions de groupes
2 Le théorème de Wedderburn

1 Rappels sur les actions de groupes

On considère ici un groupe G noté multiplicativement. Si X est un ensemble quelconque, une action de G dans X est une application $G × X → X$ , $(g,x) ↦-→ g.x$ vériﬁant :

$∀g,g′ ∈ G, ∀x ∈ X, g.(g ′.x) = (gg′).x$ ,
$∀x ∈ X, x.1 = x$ .

On dit que le groupe G agit sur X. A une telle action correspond une relation $ℛ$ d’équivalence dans X déﬁnie par

xℛy ⇐ ⇒ ∃g ∈ G, y = g.x.

On note ω(x) la classe d’un élément $x ∈ X$ et on l’appelle l’orbite de x, on a donc $ω(x) = {g.x ∈ X, g ∈ G}$ . Les classes d’une relation d’équivalence formant une partition de l’ensemble considéré, on peut considérer pour chaque orbite ω un $t ∈ X$ tel que ω = ω(t) ; l’ensemble T de ces t est une transversale. On a donc

⋃ X = ω(t), t∈T

cette réunion étant disjointe.

On vériﬁe facilement que l’ensemble $Gx = {g ∈ G,g.x = x}$ des éléments g laissant invariant $x ∈ X$ est un sous-groupe de G appelé stabilisateur de x.

On peut maintenant énoncer le résultat suivant, connu sous le nom d’équation aux classes.

Proposition 1 Soit G un groupe ﬁni agissant sur un ensemble ﬁni X et soit T une transversale. Alors on a l’équation aux classes

∑ ∑ ∣X ∣ = ω(t) = ∣G-∣. ∣Gt∣ t∈T t∈T

(1)

DEMONSTRATION : La première égalité est claire (puisque les orbites forment une partition). Nous voulons montrer maintenant $-∣G-∣ ω(t) = ∣G ∣ t$ .
Soit $x = g .t 0$ un élément de l’orbite ω(t). L’ensemble des g tels que x = g.t est la classe à gauche $g0Gt$ . Elle a même cardinal que $Gt$ . Regroupons tous les éléments de G qui appliquent t sur un même élément x de ω(t). On partage ainsi G en ∣ω(t)∣ parties disjointes qui ont toutes pour cardinal $∣Gt∣$ . On a donc $∣G ∣ = ∣Gt∣.∣ω(t)∣$ . □

On considère maintenant le cas où l’ensemble X est le groupe G et on déﬁnit une action de G sur lui-même par

-1 ∀x, y ∈ G, x.y = xyx .

On dit alors que G agit sur lui-même par automorphisme intérieur.
Pour cette action, le stabilisateur de $x ∈ G$ est l’ensemble des éléments qui commutent avec x : $Gx = {y ∈ G, xy = yx}$ .
Soit T une transversale et P l’ensemble des $t ∈ T$ tels que ω(t) soit réduit au singleton {t}. Autrement dit P est le centre Z(G) de G, c’est-à-dire ${x ∈ G, ∀y ∈ G, xy = yx}$ . La formule 1 donne alors immédiatement

∑ ∣G-∣ ∣G ∣ = ∣Z(G) ∣ + ∣G ∣. t∈T\P t

2 Le théorème de Wedderburn

La dernière formule de la section précédente va nous aider à démontrer le

Théorème 2 (Wedderburn) Tout corps ﬁni est commutatif.

DEMONSTRATION : Soit K un corps ﬁni de centre $Z(K) = {x ∈ K, ∀y ∈ K, xy = yx}$ . Il est clair que Z est un sous-corps de K et en tant que tel, K est muni d’une structure de Z-espace vectoriel de dimension ﬁnie n. En dénombrant ses bases, on voit tout de suite que $∣K ∣ = qn$ où q est le cardinal de Z. Le théorème sera démontré lorsqu’on aura prouvé que n = 1 ; le raisonnement qui suit suppose que n > 1.

Faisons agir le groupe multiplicatif $K *$ sur lui-même par automorphisme intérieur. Pour $x ∈ K *$ , on note ω(x) son orbite et $Stab(x) = {y ∈ K *,xy = yx}$ son stabilisateur.
On vériﬁe que $Stab(x) ∪ {0}$ est un sous-corps de K contenant Z et donc pour les même raisons que ci-dessus, il existe un entier d(x) tel que $∣Stab(x) ∪ {0}∣ = qd(x)$ , c’est-à-dire tel que $∣Stab(x) ∣ = qd(x) - 1$ . De plus, il existe k tel que $∣K ∣ = ∣Stab(x)∣k = qd(x)k = qn$ et c’est donc que d(x) divise n. Il vient par l’équation aux classes

* n ∣ω(x) ∣ = --∣K--∣--= -q----1-. ∣Stab(x) ∣ qd(x) - 1

Soit $Φ n$ le n-ième polynôme cyclotomique déﬁnit par

∏ Φn(X) = (X - ξ) ξ∈Δn

où Δ_n est l’ensemble des racines n-ième primitives de l’unité. On rappelle que $Φn$ est un polynôme unitaire à coefficients entiers et qu’on a la formule