Leçons d'agregation sur Dynamaths

1 Structure des corps ﬁnis

1.1 Caractéristique, cardinal

: corps ﬁni. Image de dans : isomorphe à un ℤ∕pℤ ( premier: caractéristique). Corps des fractions isomorphe à 𝔽p= ℤ∕pℤ , sous-corps premier de .

p
σ:x↦→x est un automorphisme de .

: extension de de degré . On a ∣K ∣ = pn .

1.2 Existence et unicité des corps ﬁnis

Théorème 1 (existence) Pour tout premier et tout n ≥ 1 , il existe un corps ﬁni à q = pn éléments: le corps de décomposition de xq - x sur , noté .

Théorème 2 (unicité) Tout corps à éléments est isomorphe à .

1.3 Conditions suffisantes (cas ﬁni)

Théorème 3Tout anneau intègre ﬁni est un corps.

Théorème 4 (Wedderburn) Tout anneau à division ﬁni est un corps.

1.4 Sous-corps, clôture algébrique

Théorème 5Soit un corps ﬁni à q = pn éléments. Alors tout sous-corps de est d’ordre où m ∣n . Réciproquement, si m ∣n , a un unique sous-corps d’ordre r = pm .

𝔽r={x∈𝔽q:xr - x = 0}

On peut alors déﬁnir: ^𝔽 = ⋃ 𝔽 n!
p n≥1 p . C’est la clôture algébrique de tout 𝔽
q avec q = pn .

2 Groupe multiplicatif de

Théorème 6Le groupe multiplicatif 𝔽*q du corps ﬁni est cyclique d’ordre q- 1 .

Application: logarithme discret, cryptographie.

Théorème 7Si p = 2 , tout élément de est un carré. Si p ⁄= 2 , les carrés de 𝔽*q forment un sous-groupe d’indice 2 de 𝔽*
q , noyau de l’homomorphisme η : x ↦→ x(q-1)∕2 , à valeurs dans {±1} .

est appelé caractère quadratique de .

Conséquence: tout élément de est somme de 2 carrés.

3 Polynômes sur les corps ﬁnis

: corps ﬁni; : entier ≥ 1 .

3.1 Existence de polynômes irréductibles

Soit générateur de *
𝔽qn . Alors 𝔽qn = 𝔽q(α) . Le polynôme minimal de sur est un polynôme irréductible de 𝔽q[X] de degré .

3.2 Corps de décomposition, corps de rupture

Théorème 8Soit un polynôme irréductible de 𝔽q[X] de degré . Alors a une racine α ∈ 𝔽qn . De plus, a racines simples dans 𝔽qn : , , αq2 , ..., αqn-1 .

Conséquences:

Le corps de rupture et le corps de décomposition d’un polynôme irréductible sont les mêmes. Deux polynômes irréductibles de même degré ont le même corps de décomposition.

Automorphismes de 𝔽 n
q laissant 𝔽
q invariant: groupe engendré par x ↦→ xq (cyclique d’ordre ).

Si est premier, divise n
ϕ(p - 1) .

3.3 Théorème de Chevalley

Théorème 9: corps ﬁni de caractéristique . Soient fi ∈ K[X1, ...,Xn] des polynômes à variables tels que ∑
deg(fi) < n . Alors le nombre de zéros communs dans "Kn est divisible par .

Corollaire 1Si les sont sans terme constant, alors ils ont un zéro commun non trivial.

4 Applications

4.1 Groupes simples ﬁnis

PSL(n,K) est simple sauf pour n = 2 et K = 𝔽2 ou . De plus, si est ﬁni, P SL(n,K) est un groupe simple ﬁni.

4.2 Théorème de Sylow

Lemme 1L’ensemble des matrices triangulaires supérieures dont les termes diagonaux sont égaux à est un -sous-groupe de Sylow de GL( 𝔽n)
p .

4.3 Construction de matrices de Hadamard

Matrices de Hadamard : matrices de ℳn,n({ ±1}) telles que HnHTn = nIn .

Théorème 10Soient a
1 , ..., a
q les éléments de 𝔽
q avec q ≡ 3 mod 4 , le caractère quadratique de 𝔽
q , et H=(b)
ij0≤i,j≤q avec b = +1
ij pour i = 0 ou j = 0 , b = - 1
ij pour i = j ≥ 1 , b = η(a - a )
ij j i pour i,j≥1 et i ⁄= j . Alors est une matrice de Hadamard d’ordre q + 1 .

4.4 Codes linéaires

Alphabet ﬁni: (en général q = 2 ). Codage: 𝔽kq → 𝔽nq . Soient A ∈ ℳn -k,k(𝔽q) et H = (A,In-k) . Message a1a2⋅⋅⋅ak ↦→ c = a1⋅⋅⋅akck+1 ⋅⋅⋅cn avec HcT = 0 ; : symboles de contrôle. C = Im(𝔽k)
q .

$dC=min{w(c): c ∈ C\{0}}$ où w(c) est le nombre de composantes non nulles; dC ≥ s+ 1 ssi colonnes de sont toujours linéairement indépendantes. peut corriger jusqu’à erreurs si dC ≥ 2t+ 1 .

Code cyclique: linéaire et stable par permutations circulaires. est cyclique ssi est un idéal de n
𝔽q[X] ∕(x - 1) .

Références

Serre: Cours d’arithmétique.
Lidl: Introduction to ﬁnite ﬁelds and their applications.
Menezes: Application of ﬁnite ﬁelds.
Perrin.

Auteur du document : Vincent Lefèvre

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